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值域的求法口訣

2019-12-03 09:25:30文/葉丹

值域的求法有直接觀察法、配方法、判別式法、圖像法、單調性法、配方法、不等式法等。

值域的求法口訣

值域的求法

化歸法

在解决问题的过程中,數學家往往不是直接解决原问题,而是对问题进行变形、转化,直至把它化归为某个(些)已经解决的问题,或容易解决的问题。把所要解决的问题,经过某种变化,使之归结为另一个问题,再通过问题的求解,把解得结果作用于原有问题,从而使原有问题得解,这种解决问题的方法,我们称之为化歸法。

圖像法

根據函數圖象,觀察最高點和最低點的縱坐標。

配方法

利用二次函數的配方法求值域,需注意自變量的取值範圍。

單調性法

利用二次函數的頂點式或對稱軸,再根據單調性來求值域。

反函數法

若函數存在反函數,可以通過求其反函數,確定其定義域就是原函數的值域。

換元法

包含代數換元、三角換元兩種方法,換元後要特別注意新變量的範圍。

判別式法

判別式法即利用二次函数的判别式求值域。

複合函數法

設複合函數爲f[g(x),]g(x)爲內層函數,爲了求出f的值域,先求出g(x)的值域,然後把g(x)看成一個整體,相當于f(x)的自變量x,所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域,然後根據f(x)函數的性質求出其值域。

三角代換法

利用基本的三角关系式,进行简化求值。例如:a的平方+b的平方=1,c的平方+d的平方=1,求证:ac+bd小于或等于1.直接计算麻烦用三角代換法比较简单:做法:设a=sinx,b=cosx,c=siny,d=cosy,则ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy=cos(y-x),因为我们知道cos(y-x)小于等于1,所以不等式成立。

不等式法

基本不等式法:利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函數值域時,要時刻注意不等式成立的條件,即“一正,二定,三相等”。

分離常數法

把分子分母中都有的未知數變成只有分子或者只有分母的情況,由于分子分母中都有未知數與常數的和,所以一般來說我們分拆分子,這樣把分子中的未知數變成分母的倍數,然後就只剩下常數除以一個含有未知數的式子。

不等式法求值域

一般基本不等式有三種,其中a>0,b>0,a+b≥2√ab。可以記住一個口訣,一正二定三相等。

還有另外兩種是不需要考慮範圍的,這裏明顯是用第一種,要保證兩個數相乘的時候是正數且爲定值,所以要分類討論範圍,不然不能做。求出來的值域應該有兩段。

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