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證明函數有界的步驟

2019-12-03 09:44:21文/董月

證明函數有界的步驟:證明有界的思路是:存在一個正數M,使對所有x,滿足|f(x)|<M。證明無界的思路是:對任意正數M,總存在x,使得|f(x)|>M。

證明函數有界的步驟

步驟思路

證明有界的思路是:存在一個正數M,使對所有x,滿足|f(x)|<M。

證明無界的思路是:對任意正數M,總存在x,使得|f(x)|>M。

若存在兩個A和B,對一切x∈Df恒有A≤f(x)≤B,則稱函數y=f(x)在Df內是有界函數,否則爲無界函數。

f(x)=1/(1+x2)

x→0f(x)→1

x→∞f(x)→0

0≤f(x)≤1所以函數y=f(x)在Df內是有界函數。

證明方法

1.理論法:若f(x)在定義域[a,b]上連續,或者放寬到常義可積(有限個第一類間斷點),則f(x)在[a,b]上必然有界。

2.計算法:切分(a,b)內連續

limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在;limx→b?f(x)存在limx→b?f(x)存在則f(x)在定義域[a,b]內有界。

3.運算規則判定:在邊界極限不存在時

有界函數±有界函數=有界函數(有限個,基本不會有無窮個,無窮是個難分高低的狀態)

有界*有界=有界

注意事項

1、函數在某區間上,要麽有界要麽無界,二者必屬其一;

2、從幾何學的角度很容易判別一個函數是否有界.如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數的圖形介于它們之間,那麽函數一定是無界的。

一般來說,連續函數在閉區間具有有界性。例如:y=x+6在[1,2]上有最小值7,最大值8,所以說它的函數值在7和8之間變化,是有界的,所以具有有界性。但正切函數在有意義區間,比如(-π/2,π/2)內則無界。

sinx,cosx,sin(1/x),cos(1/x),arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx是常見的有界函數。

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