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狄利克雷函數爲什麽是周期函數

2019-12-03 10:00:27文/張敏

狄利克雷函數是周期函數證明:取T爲任意一個確定的有理數,則當x是有理數時f(x)=1,且x+T是有理數,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當x是無理數時,f(x)=0,且x+T是無理數,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數是周期函數。

狄利克雷函數爲什麽是周期函數

證明過程

狄利克雷函數即f(x)=1(當x爲有理數);f(x)=0(當x爲無理數);而周期函數的定義是對任意x,若f(x)=f(x+T),則f(x)是周期爲T的周期函數。

顯然,取T爲任意一個確定的有理數,則當x是有理數時f(x)=1,且x+T是有理數,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);當x是無理數時,f(x)=0,且x+T是無理數,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。綜上,狄利克雷函數是周期函數,其周期可以是任意個有理數,所以沒有最小正周期。

狄利克雷函數

狄利克雷函數是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函數的图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

周期函數

對于函數y=f(x),如果存在一個不爲零的常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那麽就把函數y=f(x)叫做周期函數,不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函數f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函數不一定有最小正周期。

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